广义 $\chi_n$ 函数

将 $\F_{2}^{n}$ 映射到自身的映射 $\chi_n$ 定义为 $y=\chi_n(x)$，其中 $y_i=x_i+x_{i+2}(1+x_{i+1})$，索引取模 $n$。该映射因其在轻量密码学中的应用而广受关注。然而，$\chi_n$ 仅在 $n$ 为奇数时才在 $\F_2^n$ 上为双射，这限制了其在 $\F_2^n$ 上为奇维向量空间中的使用。为克服这一限制，我们引入并分析了广义映射 $\chi_{n, m}$，其定义为 $y=\chi_{n,m}(x)$，其中 $y_i=x_i+x_{i+m} (x_{i+m-1}+1)(x_{i+m-2}+1) \cdots (x_{i+1}+1)$，其中 $m$ 为固定整数且 $m\nmid n$。为研究此类映射，我们进一步将 $\chi_{n,m}$ 推广为 $\theta_{m, k}$，其中 $\theta_{m, k}$ 给定为 $y_i=x_{i+mk} \prod_{\substack{j=1,\,\, m \nmid j}}^{mk-1} \left(x_{i+j}+1\right), \,\,{\rm for }\,\, i\in \{0,1,\ldots,n-1\}$。我们证明这些映射生成了一个与 $\F_2[z]/(z^{\lfloor n/m\rfloor +1})$ 中的单位群同构的阿贝尔群。这一结构洞察使我们能够为任意正整数 $n$ 构造广泛的 $\F_2^n$ 上的置换族及其逆映射。我们严格分析了这些映射的代数性质，包括其迭代、固定点和循环结构。此外，我们提供了 $\chi_{n,m}$ 迭代在小 $n$ 和 $m$ 值下的密码学性质的全面数据库。最后，我们对 $\chi_{n,m}$、$\chi_n$、$\chi\chi_n$（EUROCRYPT 2025 \cite{belkheyar2025chi}）及其变体进行了比较性安全性和实现成本分析，并作为我们的研究的副产品证明了 \cite{belkheyar2025chi} 中提出的猜想1。我们的结果为 $\chi_n$ 的推广提供了替代方案，既可用于 $\chi_n$ 也可用于 $\chi\chi_n$。