存在 $\chi$ 的兄弟置换，当 $n$ 为偶数时

设 $1$ 为全一向量，$\odot$ 表示 $\mathbb F_2^n$ 中两个向量的逐分量乘法。我们研究由函数 $\gamma_{2k}:\mathbb F_2^n \to \mathbb F_2^n, k\geq 0$ 生成的 $\mathbb F_2$ 上的向量空间 $\Gamma_n$，其中 $$\gamma_{2k} = S^{2k}\odot(1+S^{2k-1})\odot(1+S^{2k-3})\odot\ldots\odot(1+S)$$ 且 $S:\mathbb F_2^n\to \mathbb F_2^n$ 是循环左移函数。$\Gamma_n$ 中的函数是移位不变的，并且用于多个密码学原语中著名的 $\chi$ 函数包含在 $\Gamma_n$ 中。对于偶数 $n$，我们证明了 $\Gamma_n$ 中关于复合的置换构成一个 Abelian 群，该群同构于剩余环 $\mathbb F_2[X]/(X^n +X^{n/2})$ 的单位群。这种同构产生了一种高效的理论和算法方法，用于构造和研究 $\mathbb F_2^n$ 上丰富的移位不变置换族，这些是 $\chi$ 的自然推广。为了进行演示，我们将所得结果应用于研究 $\mathbb F_2^n$ 上的函数 $\gamma_0 +\gamma_2+\gamma_4$。