素数模与合数模下的马尔科夫变换群
数论
2018-11-14 v2 群论
摘要
马尔科夫变换群是一个仿射整态射群 Γ，已知它传递地作用于方程 x²+y²+z²=xyz 的所有正整数解集上。关于马尔科夫方程的基本强逼近猜想指出，对于每个素数 p，群 Γ 传递地作用于同一方程在 Z/pZ 上的非零解集 X*(p) 上。最近，Bourgain、Gamburd 和 Sarnak 在一个小的例外集之外的所有素数上证明了这个猜想。在本文中，我们研究了由 Γ 在 X*(p) 上的作用所得到的置换群，并证明对于大多数素数，它是全对称群或交错群。我们利用这一结果推导出，Γ 也传递地作用于一大类合数模下的非零解集上。我们的结果也与 Gilman 的一个著名定理相关，该定理指出，对于任何有限非交换单群 G 和 r≥3，群 Aut(F_r) 至少作用于 G 的一个 T_r-系统上，如同交错群或对称群。用这种语言来说，我们的主要结果转化为：对于大多数素数 p，群 Aut(F₂) 作用于 PSL(2,p) 的一个特定 T₂-系统上，如同交错群或对称群。
引用
@article{arxiv.1702.08358,
title = {The Markoff Group of Transformations in Prime and Composite Moduli},
author = {Chen Meiri and Doron Puder and Dan Carmon},
journal= {arXiv preprint arXiv:1702.08358},
year = {2018}
}
备注
31 pages, by Chen Meiri and Doron Puder, with an appendix by Dan Carmon. Better exposition than in last version, and some non-accurate statements fixed