有限域上 Markoff 自同构的循环结构

我们开始研究 $\mathrm{Out}(\mathbf{F}_{2})$ 的伪 Anosov 元素在 Markoff 型簇 $$\mathbb{X}_{\kappa}:\:x^{2}+y^{2}+z^{2}=xyz+2+\kappa$$ 上的作用，其中有限域 $\mathbb{F}_{p}$ 且 $p$ 为素数。我们首先对 $\mathrm{Out}(\mathbf{F}_{2})$ 在 $\mathbb{X}_{-2}(\mathbb{F}_{p})$ 上生成的置换群给出一个精确猜想，表明在置换群层面上伪 Anosov 元素“泛化”作用没有阻碍。我们证明该猜想是尖锐的。我们证明对于固定的伪 Anosov $g\in\mathrm{Out}(\mathbf{F}_{2})$，在 $\mathbb{X}_{\kappa}(\mathbb{F}_{p})$ 上总存在 $g$ 的长度 $\geq C\log p+O(1)$ 的轨道，其中 $C>0$ 由视 $g$ 为 $\mathrm{GL}_{2}(\mathbf{Z})$ 元素的特征值给出。这改进了 Silverman (2007) 适用于拟射影簇一般态射的结果。我们发现，固定伪 Anosov $g$ 作用在 $\mathbb{X}_{-2}(\mathbb{F}_{p})$ 上的最长轨道的渐近 $(p\to\infty)$ 行为由一种二分法支配，我们以组合术语和与 Gauss 歧义二元二次型相关的代数术语描述该二分法，遵循 Sarnak。该二分法用数值说明，基于此我们提出一个精确猜想。