四次穿孔球面的特征簇的强逼近

我们研究了Markoff型方程$$X^2 + Y^2 + Z^2 = XYZ +AX + BY + CZ + D$$在$\mathbb{F}_p$中的解在由$$\begin{split}&V_1: (x, y, z)\mapsto (A + yz - x, y, z),\\ &V_2: (x, y, z)\mapsto (x, B + xz - y, z),\text{ 和}\\ &V_3: (x, y, z)\mapsto (x, y, C + xy - z).\end{split}$$生成的对称群$\Gamma$下的轨道，其中$A, B, C,$和$D$是固定整数。该方程作为四次穿孔球面的相对特征簇出现，而$\Gamma$来自纯映射类群。对于大多数参数，我们证明存在一个密度为一的素数集$p$，使得$\Gamma$在模$p$解的主体上传递作用，其余部分分解为几个由$\mathbb{C}$上解内的有限轨道产生的小轨道。我们分类了该结果不适用的那些“退化”参数，并表明存在2个（对于大多数退化参数）或4个（对于除$(0, 0, 0, 4)$之外的其余退化参数）大轨道模密度为一的素数。当应用于两个特殊子族时，我们的结果变得特别有趣。第一个是$$X^2 + Y^2 + Z^2 = XYZ + k$$，其中$k \neq 4$，它出现在$\text{SL}_2(\mathbb{F}_p)$的组合群论研究中。我们的结果几乎证明了McCullough和Wanderley关于密度为1的素数的$Q$-分类猜想。第二个子族是$$x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + a_1x_2x_3 + a_2x_1x_3 + a_3x_1x_2 = (3+a_1+a_2+a_3)x_1x_2x_3,$$它来自某些广义簇代数。在这里，我们的退化参数概念特化为de Courcy-Ireland、Litman和Mizuno的退化条件。对于该族中的所有非退化曲面和一些退化曲面，他们的结果意味着我们的大轨道计数（1、2或4）适用于所有足够大的素数$p$。