马尔可夫三元组与 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$ 中的生成对

本文考察马尔可夫方程的水平集 $$\mathrm{M}_k: x^2 + y^2 + z^2 - xyz - 2 = k.$$ 布尔古恩、甘布尔德和萨尔纳克所称的强近似现象预言，每一个关于 $\mathbb{F}_p$ 的 $\mathrm{M}_k$ 解都来源于关于 $\mathbb{Z}$ 的解。此外，我们期望 Vieta 反演作用（将 $(x, y, z)$ 取为 $(yz-x, y, z)$, $(x, xz-y, z)$, 或 $(x, y, xy-z)$）在 $\mathrm{M}_k(\mathbb{F}_p)$ 上是本质上完全的。在矩阵层面上，Vieta 反演对应于满足 $\mathrm{tr}([A, B]) = k$ 的 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p) \times \mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$ 中的 Nielsen 变换。这种对应关系由映射 $\mathrm{Tr}: (A, B) \mapsto (\mathrm{tr}(A), \mathrm{tr}(B), \mathrm{tr}(AB))$ 诱导。麦克弗森和旺德利宣称，Nielsen 变换在 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$ 的生成对 $(A_1, B_1)$, $(A_2, B_2)$ 之间相连当且仅当 $[A_1, B_1]$ 与 $[A_2, B_2]$ 或 $[B_2, A_2]$共轭。基于此，我们期望具有 $\mathrm{tr}([A, B]) = k$ 的 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$ 的生成对 $(A, B)$ 确定 $\mathrm{M}_k(\mathbb{F}_p)$ 的单个轨道，而其余的异常轨道则来自 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$ 的非生成对。在本文中，我们描述了 $\mathrm{M}_k(\mathbb{F}_p)$ 的异常轨道集合，证明它们与 Dubrovin 和 Mazzocco 在复数域上找到的 $\mathrm{M}_k$ 的有限轨道一致。此外，我们证明当 $p \equiv 3 \mod{4}$ 时，麦克弗森和旺德利的猜想等价于强近似。最后，我们展示了陈的最新进展，并利用我们对异常轨道的分类，对 $\mathrm{M}_k(\mathbb{F}_p$ 中最大轨道的大小作出一个可整除性猜想。