马尔可夫三元组与 Nielsen 等价于 SL₂(Fₚ) 中的讨论
数论
2025-11-24 v2
摘要
2013 年，Darryl McCullough 和 Marcus Wanderley 对描述 SL₂(F_q) 中生成器对的 Nielsen 等价类和 T₂ 等价类，以及解方程 x²+y²+z²=xyz+κ (κ∈F_q) 的 F_q³ 中三元组的马尔可夫等价类提出了一系列猜想（κ=0 的情形最初由 Baragar 在 1991 年提出）。我们证明了马尔可夫三元组的“Q 分类猜想”意味着其他猜想。随后我们证明了当 q=p 为素数且 24,504,480 不整除 p²-1 时，Q 分类猜想成立。更一般地，对于任意整数 d，将所有素数 p 满足 p≢±1 (mod d) 的 Q 分类猜想化简为检查一个约为 2d×2d 矩阵（矩阵元在 Q[κ] 中）是否可逆。我们（以及 SageMath）对所有素数幂 d（至 17）执行此可逆性检查，从而得到模数 24,504,480=2 lcm(1,2,…,17)。
引用
@article{arxiv.2510.07577,
title = {Markoff triples and Nielsen equivalence in $\text{SL}_2(\mathbb{F}_p)$},
author = {Daniel E. Martin},
journal= {arXiv preprint arXiv:2510.07577},
year = {2025}
}
备注
62 pages. Typos from version 1 have been fixed, and further explanation has been added to certain proofs. Sage code for Algorithm 1 is on the author's webpage: dem6.people.clemson.edu