$\mathfrak{sl}_2(\mathbb{F}_p)$的类数与不变字符

设 $p$ 为素数，设 $S_2(\Gamma(p))$ 为主同位子群 $\Gamma(p)$ 的权重为 $2$ 的 cusp 形式空间。则 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_p)$ 自然作用于 $S_2(\Gamma(p))$。大约于1928年，Hecke 证明若 $p>3$ 且 $p\equiv 3\mod 4$，则 $\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$ 的类数等于 $S_2(\Gamma(p))$ 中两个特定不可约表示乘性之差。本文我们证明了该结果的李代数类比。作为应用，我们将Hecke的结果推广到 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}/p^r)$（作用于 $S_2(\Gamma(p^r))$），其中 $r\geq 2$。