对素数 p≡3 (mod 4) 的 Q(√±2p) 类数的同余式

对素数 $p\equiv 3$ $(\text{mod }4)$，令 $h(-8p)$ 与 $h(8p)$ 分别为 $\mathbb{Q}(\sqrt{-2p})$ 与 $\mathbb{Q}(\sqrt{2p})$ 的类数。令 $\Psi(\xi)$ 为二次无理数 $\xi$ 的 Hirzebruch 和。我们证明 $h(-8p)\equiv h(8p)\Big(\Psi(2\sqrt{2p})/3-\Psi\big((1+\sqrt{2p})/2\big)/3\Big)$ $(\text{mod }16)$。此外，我们证明若 $p\equiv 3$ $(\text{mod }8)$ 则 $h(-8p)\equiv 2h(8p)\Psi(2\sqrt{2p})/3$ $(\text{mod }8)$，且若 $p\equiv 7$ $(\text{mod }8)$ 则 $h(-8p)\equiv \big(2h(8p)\Psi(2\sqrt{2p})/3\big)+4$ $(\text{mod }8)$。