$\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$ 类数可被 $16$ 整除的无穷性

猜想认为，使得 $\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$ 的类数 $h$ 可被 $2^k$ 整除的素数 $p$ 的密度对于所有正整数 $k$ 均为 $2^{-k}$。该猜想在 $1\leq k\leq 3$ 时成立，但在 $k\geq 4$ 时仍未解决。对于形式为 $p = a^2 + c^4$（其中 $c$ 为偶数）的素数 $p$，我们用 $a$ 和 $c$ 描述了 $\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$ 的 8-Hilbert 类域。随后，我们改编了 Friedlander 和 Iwaniec 的一个定理，以证明存在无穷多个素数 $p$ 使得 $h$ 可被 $16$ 整除，同时也存在无穷多个素数 $p$ 使得 $h$ 可被 $8$ 整除但不可被 $16$ 整除。