用Lehmer序列研究虚二次域类数的可除性

设$k\geq 3$和$n\geq 3$为奇整数，$m\geq 0$为任意整数。对素数$\ell$，我们证明虚二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{\ell^{2m}-2k^n})$的类数要么被$n$整除，要么被$n$的某个特定因数整除。应用该结果，我们构造了如下形式的某类虚二次域无穷族$$\left(\mathbb{Q}(\sqrt{d}), \mathbb{Q}(\sqrt{d+1}), \mathbb{Q}(\sqrt{4d+1}), \mathbb{Q}(\sqrt{2d+4}), \mathbb{Q}(\sqrt{2d+16}), \cdots, \mathbb{Q}(\sqrt{2d+4^t}) \right)$$其中$d\in \mathbb{Z}$且$1\leq 4^t\leq 2|d|$，其类数均被$n$整除。我们的证明使用了关于Lehmer序列本原除数的若干深刻结果。