关于类数为 1 的虚二次域定理的初等证明

设 $D$ 为不等于 1 的无平方因子整数。设 $K$ 为二次域 ${\mathbb Q}(\sqrt D)$。设 $\delta \in \{1,2\}$，其中若 $D\equiv 1 \pmod 4$ 则 $\delta=2$。对于 $K$ 中在 $K/\mathbb Q$ 中分裂的每个素理想 $\mathcal P$，我们关联一个二元二次型 $f_{\mathcal P}$，并证明当 $K$ 为虚二次域时，$\mathcal P$ 为主理想当且仅当 $f_{\mathcal P}$ 表示 $\delta^2$；当 $K$ 为实二次域时，$\mathcal P$ 为主理想当且仅当 $f_{\mathcal P}$ 表示 $\pm \delta^2$。作为该结果的应用，我们得到了关于类数为 1 的虚二次域著名定理的初等证明。该证明揭示了当 $D\equiv 1 \pmod 4$ 时，虚二次域具有类数 1 的必要条件的一些新信息。