类数为一的虚二次数域中 αp 模一的分布

我们研究类数为一的虚二次数域 $\mathbb{K}\subset\mathbb{C}$ 中 $\alpha p$ 模一的分布，其中 $p$ 限制为 $\mathbb{K}$ 的整数环 $\mathcal{O} = \mathbb{Z}[\omega]$ 中的素元。类比于 R. C. Vaughan 的经典工作，我们得到不等式 $\lVert\alpha p\rVert_\omega < \mathrm{N}(p)^{-1/8+\epsilon}$ 对无穷多个 $p$ 成立，其中 $\lVert\varrho\rVert_\omega$ 度量 $\varrho\in\mathbb{C}$ 到 $\mathscr{O}$ 的距离，$\mathrm{N}(p)$ 表示 $p$ 的范数。证明基于 Harman 筛法，并运用了 Vinogradov 经典思想的数域类比。此外，我们引入了一种平滑处理，使得我们能够方便地使用泊松求和公式。