Guy 关于类数猜想的证明

众所周知，对于任意素数 $p\equiv 3$ (mod $4$)，二次域 $\mathbb{Q}(\sqrt{p})$ 和 $\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$ 的类数 $h(p)$ 和 $h(-p)$ 均为奇数。很自然地会问，是否存在一个关于 $h(p)/h(-p)$ 模 2 的幂的公式。我们证明了公式 $h(p) \equiv h(-p) m(p)$ (mod $16$)，其中 $m(p)$ 是一个利用 $\sqrt{p}$ 的“负”连分数展开定义的整数。我们的结果解决了 Richard Guy 的一个猜想。