Hecke群中互逆类的球面增长

设$\Gamma_p$表示Hecke群，其中$p=2r$，$r>0$。设$\mathcal{N}_l$表示$\Gamma_p$中字长为$l$的互逆元素的共轭类集合。我们证明，当$l \to \infty$时，$$|\mathcal{N}_l| = \mathcal{O}\left(\left\lfloor \tfrac{l+1}{2} \right\rfloor^{s-1} \rho^{\left\lfloor \tfrac{l+1}{2} \right\rfloor} \right),$$其中$\mathcal{O}$为大O符号，$\rho \in [\sqrt{2}, 2]$是$$p(x) = x^{r+1} - 2\sum_{j=1}^{r-1} x^{r-j} - 1$$的唯一正实根，$s$为$p(x)$的根的最大重数。我们的方法依赖于Hecke群$\Gamma_p$的自由积结构、组合计数函数以及由循环简化代表导出的递推关系。我们还推导出字长为$l$的本原互逆类的增长率与$\mathcal{N}_l$的增长率一致。本工作推广了奇数$p$的先前结果，并为所有Hecke群提供了明确的渐近界。