Hecke 互反律与类群

我们计算了三次域 $F = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{n})$ 族中 $\mathrm{Cl}_F[2]$ 的平均大小。具体而言，当 $F$ 在 wildly（resp. tamely）分歧的 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{n})$ 子族中变化时，$\mathrm{Cl}_F[2]$ 的平均大小为 $3/2$（resp. $2$）。这种 tame/wild 二分法在文献中的类群启发式方法中未被考虑。类似地，当扩张 $F = K(\sqrt[3]{n})$ 的 $K = \mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ 按 $\mathcal{O}_K$ 中 $n$ 的范数排序时，我们证明 $\mathrm{Cl}_F[2]$ 的平均大小为 $3/2$，这与 $K$ 的 $C_3$-扩张的 Cohen–Martinet 启发式方法一致。我们的证明基于一个关于数域 $F/K$ 的奇数度扩张的相对类群 $\mathrm{Cl}_{F/K}[2]$ 的互反律。这促使我们提出具有固定 Galois $K$-群的 $K$-扩张族的类群启发式方法，解释了 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{n})$ 族中的异常行为，并预测了其他特殊族中的类似行为。另一个主要成分是 Alpöge–Bhargava–Shnidman 关于有界不变量的 $G(\mathbb{Q})$-轨道在 $G$-不变二次型中的数量的工作。