三次 Kummer 扩张中歧义类群的 $3$-秩

设 $k=k_0(\sqrt[3]{d})$ 是 $k_0=\mathbb{Q}(\zeta_3)$ 的一个三次 Kummer 扩张，其中 $d>1$ 为无立方因子整数，$\zeta_3$ 为本原三次单位根。记 $C_{k,3}^{(\sigma)}$ 为扩张 $k/k_0$ 的歧义类的 $3$-群，其相对群为 $G=\operatorname{Gal}(k/k_0)=\langle\sigma\rangle$。本文旨在刻画所有具有阶为 $3$ 的循环歧义类 $3$-群 $C_{k,3}^{(\sigma)}$ 的扩张 $k/k_0$，研究这些阿贝尔扩张 $k/k_0$ 的导子 $f$ 的重数 $m(f)$，并根据其单位群 $E_{k}$ 作为 $G$ 上 Galois 模的上同调对域 $k$ 进行分类。为实现这些目标所采用的技术包括相对 $3$-种域、Hilbert 范剩余符号、模 $f$ 的二次 $3$-环类群、$E_{k}$ 的 Herbrand 商以及中心正交幂等元。所有理论成果均有大量计算结果作为支撑。