三次 Kummer 扩张的相对亏格域的结构

设 $N=K(\sqrt[3]{D})$ 为分圆域 $K=\mathbb{Q}(\zeta_3)$ 的三次 Kummer 扩张，其中含本原三次单位根 $\zeta_3$，且根数 $D>1$ 为无立方因子的整数。记阿贝尔扩张 $N/K$ 的导子为 $f$，其相对亏格域为 $N^{\ast}$。本工作的目标是找出所有满足亏格群 $\operatorname{Gal}\left(N^{\ast}/N\right)\cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ 为初等双循环的正整数 $D$ 与导子 $f$。