关于高斯工作的某些推广及其应用

设$K$为判别式$d_K$的虚二次域，设$\mathfrak{n}$为$K$的一个非平凡整理想，其中$N$为最小正整数。令$\mathcal{Q}_N(d_K)$为判别式$d_K$且首项系数与$N$互素的本原正定二元二次型之集合。我们在$\mathcal{Q}_N(d_K)$上采用一种等价关系$\sim_\mathfrak{n}$，使得等价类集合$\mathcal{Q}_N(d_K)/\sim_\mathfrak{n}$可视为模$\mathfrak{n}$的射线类群的同构群。我们进一步用Fricke不变量给出了$\mathcal{Q}_N(d_K)/\sim_\mathfrak{n}$到$\mathrm{Gal}(K_\mathfrak{n}/K)$的显式同构，其中$K_\mathfrak{n}$为$K$的模$\mathfrak{n}$射线类域。这将是起源于高斯和Dirichlet并由其发展的二元二次型经典复合理论的某种推广。