Kummer 扩张与根式扩张的单生成性

我们给出 Kummer 扩张 $K:=\mathbb{Q}\left(\zeta_n,\sqrt[n]{\alpha}\right)$ 在 $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ 上以 $\sqrt[n]{\alpha}$ 为生成元是单生成的充要条件，即 $\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}\left[\zeta_n\right]\left[\sqrt[n]{\alpha}\right]$。我们将这些思想推广到任意数域 $L$ 的根式扩张，并给出 $\sqrt[n]{\alpha}$ 为 $\mathcal{O}_{L\left(\sqrt[n]{\alpha}\right)}$ 生成一组幂 $\mathcal{O}_L$-基的充要条件。我们还给出 $K$ 在 $\mathbb{Q}$ 上非单生成的充分条件，并建立联系分歧与相对单生成性的一般判据。利用该判据，我们找到了次数为 $\phi(n)$ 的相对分圆扩张以 $\zeta_n$ 为单生成元的充要条件。