纯数域的$\alpha$-单调性：判据与密度

对于纯扩张 $K=\mathbb{Q}(\alpha)$ 且 $\alpha^n=m$ 的情况，我们给出一种仅基于戴德金指数定理的简短证明，给出$\alpha$-单调性判据：$\mathbb{Z}[\alpha]=\mathcal{O}_K$ 当且仅当 $m$ 为平方无平方且对每个素数 $p\mid n$ 都有 $\nu_p(m^p-m)=1$。随后我们推导显式的自然密度 $\delta_n=\frac{6}{\pi^2}\prod_{p\mid n}\frac{p}{p+1}$，其在素数之间的独立性、算术进展中的细化以及判别式阶梯渐近分析。