阿贝尔曲面分裂约化素点的分布

设 $A$ 是定义在数域 $K$ 上的具有交换（几何）自同态环的绝对单阿贝尔曲面。令 $\pi_{A, \text{split}}(x)$ 表示 $K$ 中满足以下条件的素点 $\mathfrak{p}$ 的个数：每个素点的范数不超过 $x$、$A$ 在 $\mathfrak{p}$ 处具有好约化、且 $A$ 在 $\mathfrak{p}$ 处的约化是分裂的。已知此类素点的密度为零。在 Dedekind zeta 函数的广义黎曼假设下，并可能扩张域 $K$，我们证明：若 $A$ 的自同态环平凡，则 $\pi_{A, \text{split}}(x) \ll_{A, K} x^{\frac{41}{42}}\log x$；若 $A$ 具有实二次域 $F$ 的实乘法，则 $\pi_{A, \text{split}}(x) \ll_{A, F, K} \frac{x^{\frac{11}{12}}}{(\log x)^{\frac{2}{3}}}$；若 $A$ 具有 CM 域 $F$ 的复乘法，则 $\pi_{A, \text{split}}(x) \ll_{A, F, K} x^{\frac{2}{3}}(\log x)^{\frac{1}{3}}$。这些结果改进了 J. Achter 于 2012 年与 D. Zywina 于 2014 年的界。在其他可信猜想下我们也给出了更好的界。