关于寻常约化与 Hodge-Witt 约化的素数

让-皮埃尔·塞尔（Jean-Pierre Serre）在阿贝尔簇背景下猜想了 Conj. 3.2.1，即数域上的光滑射影簇存在无限多个好寻常约化素数。我们证明了 K3 曲面的该猜想（Thm 3.3.1，这是与 C. S. Rajan 未发表的联合成果，Fedor Bogomolov 和 Yuri Zarhin 也用不同方法独立证明了该结果）。任何寻常约化素数也是 Hodge-Witt 约化素数，但反之不成立。Joshi-Rajan 的 Conj. 4.1.2 断言存在无限多个 Hodge-Witt 约化素数。这两个猜想相关但不等价（Thm 4.1.4）。我们证明了后一个猜想对于阿贝尔三维簇（Thm 4.3.1，与 C. S. Rajan 合作）、光滑 Fano 三维簇（Thm 4.4.9）以及在 Thm 4.5.1 中对于具有复乘法的阿贝尔簇成立。我们展示了寻常约化与 Hodge-Witt 约化素数集合可以具有不同的密度（Thm 4.6.11, Example 7.3.1）。Thm 5.1.1、Thm 5.1.3 建立了某些奇妙紧化以及一大类构型空间的寻常约化存在性。Thm 5.2.2 处理了 Conj. 4.1.2、Conj. 3.2.1 与 Mustață-Srinivas 猜想之间的关系，且 Thm 5.2.3 在某些情形下建立了该猜想。第 6 节讨论非 Hodge-Witt 约化素数的存在性，并在若干情形下确立（Theorem 6.4.3），且 Thm 7.2.1 断言对于维数 $\geq$ 3 且次数 $\geq$ 211 的费马超曲面，至少 98% 的素数为非 Hodge-Witt（因而非寻常）约化，并且在次数 $\rightarrow\infty$ 极限下，几乎所有素数都是非 Hodge-Witt（因而非寻常）约化。第 7 节提供了若干说明寻常、Hodge-Witt 与非 Hodge-Witt 约化密度的例子。