Artin 本原根猜想中密度的统一界

我们考虑数域 $K$ 上的 Artin 本原根猜想，约化代数数 $\alpha\in K^\times$。在广义 Riemann 假设下，存在一个密度 ${\mathrm{dens}}(\alpha)$ 来计算 $K$ 中以 $\alpha$ 为本原根的素数的比例。该密度 ${\mathrm{dens}}(\alpha)$ 是 Artin 常数 $A(\tau)$ 的有理倍数，其中 $A(\tau)$ 依赖于使得 $\alpha\in (K^\times)^\tau$ 的最大整数 $\tau\geq 1$。本文的目的是在 ${\mathrm{dens}}(\alpha)\neq 0$ 的假设下界定比值 ${\mathrm{dens}}(\alpha)/A(\tau)$。在 $\mathbb Q$ 上，该比值介于 $2/3$ 和 $2$ 之间，且这些界是最优的。对于一般的数域 $K$，我们提供了仅依赖于 $K$ 的上下界。