阿贝尔簇的根式刻画

设 $A$ 为定义在数域 $K$ 上的无平方因子阿贝尔簇。设 $S$ 为 $\mathcal{O}_K$ 的素理想中密度为 1 的集合。Faltings 的一个著名定理指出，对于 $\mathfrak{p}\in S$，Frobenius 多项式 $P_{A,\mathfrak{p}}(x)$ 在同构意义下确定了 $A$。我们证明了对于 $\mathfrak{p}\in S$，$|A(\mathbb{F}_{\mathfrak{p}})|=P_{A,\mathfrak{p}}(1)$ 的素因子也在 $K$ 的一个显式有限扩张上同构意义下确定了 $A$。证明依赖于理解源自 $A$ 的 $\ell$-进 Galois 表示的 $\ell$-进单演群，以及绝对 Weyl 群对其权重的作用。