有限域上的阿贝尔簇及其有理点群

我们研究定义在有限域$\mathbb{F}_q$上、自同态环可交换，或等价地，其同源类由无平方特征多项式确定的阿贝尔簇的有理点群。当$\mathrm{End}(A)$是局部Gorenstein时，我们证明$A(\mathbb{F}_q)$的群结构由$\mathrm{End}(A)$决定。此外，我们证明，在$A$是普通型或$q$是素数的额外假设下，如果$\mathrm{End}(A)$的局部Cohen-Macaulay型至多为$2$，也能得到相同的结论。Gorenstein情形下的结果被用来通过导子理想刻画无平方循环同源类。在相反的方向上，我们刻画了具有$N$个有理点的阿贝尔簇的无平方同源类，其中每一个$N$阶阿贝尔群都能实现为一个有理点群。最后，我们研究有限域$\mathbb{F}_q$上的阿贝尔簇$A$及其对偶$A^\vee$何时满足或不满足几个相互关联的性质，即$A\cong A^\vee$、$A(\mathbb{F}_q)\cong A^\vee(\mathbb{F}_q)$以及$\mathrm{End}(A)=\mathrm{End}(A^\vee)$。在此过程中，我们给出了一个涉及$\mathrm{End}(A)$的局部Cohen-Macaulay型的$A\not\cong A^\vee$的充分条件。特别地，这样的阿贝尔簇$A$不是雅可比簇，甚至不是主可极化的。