有限域上简单阿贝尔 variety 的 Galois 群与异常 Tate 类
数论
2025-05-15 v1 代数几何
摘要
我们证明了关于有限域上阿贝尔 variety 的 Tate 猜想的若干新案例，扩展了 Dupuy--Kedlaya--Zureick-Brown、Lenstra--Zarhin、Tankeev 和 Zarhin 的先前结果。值得注意的是，我们的方法允许我们在角度秩非最大的情况下证明 Tate 猜想。我们的主要工具是一种精确的组合条件：给定几何简单阿贝尔 variety A/𝔽_q 且其内嵌代数可交换的情形，描述 A 是否具有异常类（即 Gal(𝔽̄_q/𝔽_q)-不变类在 H^{2r}_{ét}(A_{𝔽̄_q}, ℚ_ℓ(r)) 中且不包含在除除数交叉类的生成元中）。该判据仅依赖于 Frobenius 最小多项式的 Galois 群及其在 A 的 Newton 多边形上的作用。我们的工具对 A 的等因子提供了显著控制，使我们能够证明诸多新结果。首先，我们提供一个算法：给定 Newton 多边形和 CM 域，确定其是否来自几何简单阿贝尔 variety A/𝔽_q，并若是则输出一个此类 A。据此我们表明，每一 CM 域都可作为阿贝尔 variety A/𝔽_q 内嵌代数的中心。其次，我们细化了 Tankeev 与 Dupuy--Kedlaya--Zureick-Brown 关于阿贝尔 variety 角度秩的结果。特别是，我们证明具有素数维数的普通几何简单 variety 拥有最大角度秩。
引用
@article{arxiv.2505.09589,
title = {Galois groups of simple abelian varieties over finite fields and exceptional Tate classes},
author = {Santiago Arango-Piñeros and Sam Frengley and Sameera Vemulapalli},
journal= {arXiv preprint arXiv:2505.09589},
year = {2025}
}