$\ell$-伽罗瓦特殊子簇与 Mumford-Tate 猜想

我们引入 $\ell$-伽罗瓦特殊子簇作为特殊子簇这一霍奇理论概念的 $\ell$-进类比。Mumford-Tate 猜想预测这两个概念是等价的。我们研究了这些子簇的一些性质，并证明了满足简单单值条件的子簇具有此种等价性。作为应用，我们表明 $\ell$-伽罗瓦例外轨迹是代数子簇的可数并，并且若一族的一般 Mumford-Tate 群的派生群是单的，则其正周期维数部分与正周期维数的霍奇轨迹重合。我们用此证明：对充分大的 $n$ 和 $d$，绝对 Mumford-Tate 猜想在 $\mathbb{P}^{n+1}$ 中 $d$ 次光滑射影超曲面模空间的一个稠密开子集上在 $n$ 次成立，例外是定义在数域上的超曲面。最后，我们表明阿贝尔簇的 Mumford-Tate 猜想等价于关于 $\mathcal{A}_g$ 中 $\ell$-伽罗瓦特殊子簇局部结构的一个猜想。