关于Hodge轨迹的分布

给定复光滑拟射影基$S$上的可极化$\mathbb{Z}$-Hodge结构变分$\mathbb{V}$,Cattani、Deligne与Kaplan的一个经典结果表明,其Hodge轨迹(即出现例外Hodge张量的轨迹)是$S$的不可约代数子簇的可数并,称为$\mathbb{V}$的特殊子簇。本文的主要结果是,若$\mathbb{V}$的阶至少为$3$,则该Hodge轨迹事实上是此类特殊子簇的有限并(因而是代数的),至少当我们限制于正周期维数的按因子分解的Hodge轨迹时如此。例如,在$\mathbf{P}^{n+1}_\mathbb{C}$中$d$次光滑超曲面的通用族($n\geq 3, d\geq 5$且$(n,d)\neq (4,5)$)的正周期维数Hodge轨迹是代数的。另一方面,我们证明在阶$1$或$2$时,只要Hodge轨迹包含一个典型特殊子簇,它就在$S^{an}$中解析稠密。这些结果源于对特殊子簇在$S$中分布(就典型/非典型交而言)的完整阐明,零周期维数的非典型特殊子簇除外。