混合Hodge locus的分布

设 $\mathbb{V}$ 为在光滑不可约复代数 variety $S$ 上定义的可采样且graded-polarized积分混合Hodge结构的变分。我们证明，如果 $\mathbb{V}^{\otimes}$ 的典型Hodge locus $\mathrm{HL}(S,\mathbb{V}^{\otimes})ir\mathrm{typ}$非空，则完整Hodge locus $\mathrm{HL}(S,\mathbb{V}^{\otimes})$在 Zariski 拓扑下稠密。另一方面，我们证明，如果关联graded变分 $\mathrm{Gr}(\mathbb{V})$对于重量滤波具有较大的单性并在Baldi-Klingler-Ullmo意义下至少为3，那么 $\mathbb{V}$ 的典型Hodge locus为空，完整Hodge locus $\mathrm{HL}(S,\mathbb{V}^{\otimes})$是 $S$ 的严格Zariski闭子集，至少在其因子wise正维部分上。这一结果改进了Brosnan-Pearlstein-Schnell在此情形下的经典结果。这一论文的证明基于对 $\mathbb{V}$ 在 $S$ 上的Hodge locus的横向部分 $\mathrm{HL}(S,\mathbb{V}^{\otimes})ir\mathrm{trans}$ 的详细研究，该子集包含 $\mathrm{HL}(S,\mathbb{V}^{\otimes})ir\mathrm{typ}$，且其在 $S$ 中的Zariski稠密性等价于 $\mathrm{HL}(S,\mathbb{V}^{\otimes})ir\mathrm{typ}$ 在 $S$ 中的Zariski稠密性。我们证明 $\mathrm{HL}(S,\mathbb{V}^{\otimes})ir\mathrm{trans}$ 的非空性等价于其在 $S$ 中的Zariski稠密性，我们完全分类了其横向Hodge locus $\mathrm{HL}(S,\mathbb{V}^{\otimes})ir\mathrm{trans}$ 为Zariski稠密的变分，并证明了一个独立准则，确保 $\mathrm{HL}(S,\mathbb{V}^{\otimes})ir\mathrm{trans}$ 的为空。