关于射影单纯丘比 variety 上射影超曲面的 Hodge 结构

本文推广了 Griffiths、Dolgachev 和 Steenbrink 关于加权射影空间中超曲面上上同调的经典结果。给定 $d$ 维射影单纯丘比 variety $P$ 和由多项式 $f$ 在 $P$ 的齐次坐标环 $S$ 中定义的足够大的元素 $X$，我们证明了 $H^d(P - X)$ 上 Hodge 过滤的grading 块自然等同于 $S/J(f)$ 某些 grading 块，其中 $J(f)$ 为 $f$ 的雅可比理想。我们随后讨论了这与 $X$ 的原始上同调之间的关系。另外，若 $T$ 为 $X$ 中包含的 torus，则 $X$ 与 $T$ 的交是 $T$ 中一个仿射超曲面，我们展示了第二作者的最近结果如何使用 $S$ 中的各种理想来表述。为证明我们的结论，我们必须给出 $P$ 上 $d$ 形式和 $(d-1)$ 形式在 $S$ 中的精确描述。为了完整性，我们还提供了针对单纯丘比 variety 的 Bott-Steenbrink-Danilov 消失定理的证明。本文还讨论了准光滑超曲面和 $V$-submanifolds、当 $P$ 作为仿射空间开子集 $U$ 的商来表示时 $U$ 的补集的结构、关于射影空间上的欧拉精确序列的推广，以及 $R/J(f)$ 的 grading 块与 $P$ 中足够大的超曲面的模组成之间的关系。