光滑射影超曲面周期积分的增强同伦理论

本文的目标是利用 BV (Batalin-Vilkovisky) 代数和同伦李理论（即所谓的 $L_\infty$-同伦理论）揭示光滑射影超曲面的奇异上同调和 Griffiths 周期积分上的隐藏结构。设 $X_G$ 为复射影空间 $\mathbf{P}^n$ 中由次数 $d \geq 1$ 的齐次多项式 $G(\underline x)$ 定义的光滑射影超曲面。令 $\mathbb{H}=H^{n-1}_{\operatorname{prim}}(X_G, \mathbb{C})$ 为 $X_G$ 的中间维数本原上同调。我们显式构造了一个 BV 代数 $\mathbf{B\!\!V}_{\! \!X}=(\mathcal{A}_X,Q_X, K_X)$，使其 $0$ 阶上同调 $H^0_{K_X}(\mathcal{A}_X)$ 规范同构于 $\mathbb{H}$。我们还为 $\mathbf{B\!\!V}_{\! \!X}$ 配备了递减滤过和双线性配对，从而在规范同构下实现了 $\mathbb{H}$ 上的 Hodge 滤过和杯积极化。此外，我们将 $C_{[\gamma]}:\mathbb{H} \to \mathbb{C}$ 提升为链映射 $\mathcal{C}_\gamma:(\mathcal{A}_X, K_X) \to (\mathbb{C},0)$，其中 $C_{[\gamma]}$ 是由 $[\gamma]\in H_{n-1}(X_G,\mathbb{Z})$ 给出的 Griffiths 周期积分 $\omega \mapsto \int_\gamma \omega$。我们利用 $\mathbb{H}$ 上的这种增强同伦结构来研究 $X_G$ 的扩展形式形变及其周期积分的相关性。如果 $X_G$ 属于 Calabi-Yau 超曲面的形式族 $X_{G_{\underline T}}$，我们提供了一个显式公式和算法（基于 Gr"obner 基），利用 $X_G$ 的周期矩阵和一个增强 $C_{[\gamma]}$ 并支配周期矩阵形变的 $L_\infty$-态射 $\underline \kappa$ 来计算 $X_{G_{\underline T}}$ 的周期矩阵。