持久 (上) 同调的高阶同伦扩展

本文旨在展示持久 (上) 同调中出现的一种可能有趣的同伦性质结构。假设嵌入有限维向量空间的单纯复形（或拓扑空间）的滤过诱导了由单纯上链复形给出的微分分级代数上的乘法滤过（在我们的设定中这并非一个过于严苛的假设），我们可以利用 T. Kadeishvili 的结果，在滤过单纯集（或拓扑集）的完备持久上同调上获得一个唯一的（直至非典范等价）$A_\infty$-代数结构。随后，我们在所有（广义）条形码集合（即所有上同调次数）上构造了一个赋予前述 $A_\infty$-代数结构的（伪）度量，该度量细化了通常的瓶颈度量，且不依赖于所选的特定 $A_\infty$-代数结构（在彼此等价的结构中）。我们认为这一距离值得在拓扑数据分析中受到关注，因为它特别能够识别不同的链接或折叠模式，如 Borromean 环所示。此外，我们给出了一个关于持久同调与上同调之间条形码结构关系的结果的简单证明。该结果曾在 V. de Silva、D. Morozov 和 M. Vejdemo-Johansson 最近的一篇文章中在某些受限假设下被观察到，而我们并未作此假设。