扩展 Hamilton-Jacobi 理论、对称性与按求积可积性

本文在具有对称性的动力系统背景下研究扩展 Hamilton-Jacobi 理论。给定李群 $G$ 在流形 $M$ 上的作用以及 $M$ 上 $G$-不变的向量场 $X$,我们构造与 $X$(以及 $M$ 上给定的纤维化)相关的 Hamilton-Jacobi 方程(HJE)的完整解。我们在每个开子集 $U\subseteq M$ 上做到这一点,使得 $\pi\left(U\right)$ 具有流形结构,且典范投影 $\pi:M\rightarrow M/G$ 到 $U$ 的限制 $\pi_{\left|U\right.}:U\rightarrow\pi\left(U\right)$ 是满子浸没。若 $X_{\left|U\right.}$ 关于 $\pi_{\left|U\right.}$ 非竖直,我们证明此类完整解可解与 $X_{\left|U\right.}$ 和 $G$ 相关的“重构方程”,即那些使我们能用 $X_{\left|U\right.}$ 在 $\pi\left(U\right)$ 上投影的积分曲线写出 $X_{\left|U\right.}$ 的积分曲线的方程。另一方面,若 $X_{\left|U\right.}$ 为竖直,我们证明此类完整解可用于(在 $U$ 中某些点附近)通过求积构造 $X_{\left|U\right.}$ 的积分曲线。为此,对李代数 $\mathfrak{g}$ 的某些元素 $\xi$,我们给出指数曲线 $\exp\left(\xi\,t\right)$ 的显式求积表达式,不同于文献中矩阵李群的情形。在紧李群和半单李群的情形,我们证明该 $\exp\left(\xi\,t\right)$ 的表达式对 $\mathfrak{g}$ 中一个开稠密子集内的所有 $\xi$ 均成立。