分次幂幺商空间的射影完备化

本文旨在证明，对于具有分次幂幺根的非约化代数群 $H$ 在射影概形 $X$ 上的线性作用，经典几何不变量理论 (GIT) 有一个有效的类比。这里要求 $H$ 的线性作用可延拓到半直积 $\hat{H} = H \rtimes \mathbb{G}_m$，其中乘法单参数群在 $H$ 的幂幺根 $U$ 的李代数上的作用具有严格正的权，且中心化 $H$ 的一个 Levi 子群 $R \cong H/U$。我们证明 $X$ 有一个 $H$-不变的开子概形（称为“帽稳定轨迹”），该开子概形在 $H$-作用下有一个几何商。该几何商有一个射影完备化，它是 $X$ 与仿射直线乘积的爆破的一个开子概形在 $\hat{H}$ 作用下的范畴商（实际上是良好商）；通过额外的爆破，可以得到一个本身即为几何商的射影完备化。此外，$X$ 的帽稳定轨迹以及 $X$ 与仿射直线乘积的爆破的相应开子集，可以利用类似 Hilbert-Mumford 的准则并结合显式的爆破构造来有效描述。应用包括在固定的非奇异射影概形上构造具有固定 Harder-Narasimhan 型的层和 Higgs 丛的模空间，以及构造具有固定奇点的不稳定射影曲线的模空间。最近，第一作者和第四作者将约化 GIT 商的上同调理论推广到本文所研究的非约化情形，并利用该理论证明了具有多项式次数界的通有射影超曲面的 Green-Griffiths-Lang 和 Kobayashi 双曲性猜想。