分级幂零群的几何不变量理论及其应用

设$U$是复数域上的分级幂零群，即它具有一个由乘法群给出的扩张$\hat{U}$，使得乘法群通过共轭作用在$U$的李代数上的所有权均严格为正。给定$U$对射影簇$X$的任意作用，该作用可扩张为对$\hat{U}$的线性作用（关于$X$上的丰沛线丛），那么只要愿意将线丛替换为其张量幂，并适当扭曲$\hat{U}$作用线性化的有理特征，且满足一个附加条件——该条件是经典GIT中条件'对作用不存在严格半稳定点'的类比——我们证明$\hat{U}$-不变式构成一个有限生成的分次代数；此外，从$X$的半稳定子集到包络商的自然态射是满射，并将包络商表示为半稳定子集的几何商。将此结果应用于$X$与其射影直线的乘积，我们得到一个射影簇，它是$\hat{U}$对$X$与仿射线乘积的不变开子集的几何商，且包含一个作为开子集的$U$对$X$的$U$-不变开子集的几何商。此外，$X$及其与仿射线的乘积的这些开子集可以用类似于经典GIT中Hilbert-Mumford判准的条件来描述。