论 Hamilton-Jacobi 方程与生成函数的几何

本文在 Poisson 框架下建立了 Hamilton-Jacobi 方程的几何版本。具体而言，我们将通常所称的 Hamilton-Jacobi 方程完全解进行了“几何化”。我们利用关于辛群胚，特别是余切群胚的一些熟知结果，作为构建我们框架的基石。我们的方法遵循 A. Weinstein 在 [62] 中提出的雄心勃勃的计划，旨在为 Lie 代数胚和 Lie 群胚上的 Lagrangian 与 Hamiltonian 系统的动力学行为建立几何表述。这一过程使我们能够考虑对称性，并且作为副产品，我们恢复了 [14, 29, 31] 中的结果，但即便在这些情形下，我们的方法也是全新的。遵循相同的模式，我们还发展了本文所考虑的 Poisson 结构的生成函数理论，解决了该领域一个长期存在的问题：如何为 Poisson 流形的恒等变换及其附近的 Poisson 自同构获得生成函数。我们结果的一个直接应用是构造了一族 Poisson 积分器，即保持底层 Poisson 几何的积分器。本文在基准问题中实现了这些积分器。文末展示了若干结论以及当前和未来的研究方向。