Nambu-Jacobi 流形上的几何 Hamilton-Jacobi 理论

在本文中，我们提出 Nambu-Jacobi 流形上的几何 Hamilton-Jacobi 理论。几何 Hamilton-Jacobi 理论的优点在于，如果 Hamiltonian 向量场 $X_H$ 可通过 1-形式 $dW$ 投影到构型流形上，则只要 $W$ 是 Hamilton-Jacobi 方程的解，投影向量场 $X_H^{dW}$ 的积分曲线便可转化为向量场 $X_H$ 的积分曲线。此过程使我们能将动力学约化到更低维流形，并在其中积分运动。另一方面，Nambu-Jacobi 结构的意义在于其在用多个 Hamiltonian 函数描述动力学中的作用。例如，它出现在流体动力学中。在此，我们推导了 Nambu-Jacobi 流形上几何 Hamilton-Jacobi 方程的显式表达式，并将其应用于三阶 Riccati 微分方程作为示例。