利用余辛结构与接触结构求解含时与耗散 Hamilton 系统

本文应用几何 Hamilton--Jacobi 理论，以求解与余辛结构或接触结构相容的经典 Hamilton 系统。众所周知，第一种结构在含时 Hamilton 量理论中起核心作用，而第二种结构在此用于处理包含耗散项的经典 Hamilton 量。几何 Hamilton--Jacobi 方程的意义在于一个基本观察：若 Hamilton 向量场 $X_{H}$ 可通过 1-形式 $dW$ 投影至位形流形，则只要 $W$ 是 Hamilton--Jacobi 方程的解，投影向量场 $X_{H}^{dW}$ 的积分曲线即可转化为 $X_{H}$ 的积分曲线。以此方式，我们利用几何 Hamilton--Jacobi 理论导出具有含时 Hamilton 量表述或包含耗散项的物理系统的解。我们在余辛流形与接触流形上获得了几何 Hamilton--Jacobi 方程的显式新表达式。这些方程随后被用于求解包含显式时间依赖的物理实例，如一维三角系统以及 Winternitz--Smorodinsky 振荡器等二维非线性振荡器。对于显式耗散行为，我们求解了一维阻尼振荡器的实例。