k-接触框架下非保守场论的 Hamilton-Jacobi 理论

本文在共定向 k-接触几何框架下，为非保守经典场论，特别是耗散系统，发展了一套 Hamilton-Jacobi 理论。我们引入了演化 k-接触 k-向量场，将接触演化形式推广到场论，并分析了相应的 Hamilton-De Donder-Weyl 方程。此外，我们发展了两个不同的 Hamilton-Jacobi 理论族：一种是与 z 无关的方法，基于从定义在 $(\bigoplus^kT^*Q)\times\mathbb{R}^k\to Q$ 的基流形上的可积 k-向量场重构动力学；另一种是与 z 相关的方法，其中可积 k-向量场定义在 $(\bigoplus^kT^*Q)\times\mathbb{R}^k\to Q\times\mathbb{R}^k$ 的基流形上。我们详细阐述了哈密顿函数对耗散变量具有仿射依赖性的重要情况，展示了如何利用对这些变量的二次依赖性从结构上扩大应用范围，并恢复了普通接触 Hamilton-Jacobi 理论作为 k=1 的特例，同时移除了先前公式中出现的一些技术假设。我们的理论通过几个代表性例子进行了说明，包括电报方程/Klein-Gordon 方程、耗散 Hunter-Saxton 方程、一个简单的耗散非正则一阶场模型以及一个相对论热力学模型。