Π-Hamilton-Jacobi 方程各向同性完全解的存在性

考虑一个辛流形 $M$、一个哈密顿向量场 $X$ 以及一个纤维化 $\Pi:M\rightarrow N$。与这些数据相关的是 (时间无关) 哈密顿-雅可比方程的一个推广版本：关于 $X$ 的 $\Pi$-HJE，其未知量是 $\Pi$ 的一个截面 $\sigma:N\rightarrow M$。当相空间 $M$ 是余切丛 $T^{*}Q$ (带有其标准辛形式)、$\Pi$ 是典范投影 $\pi_{Q}:T^{*}Q\rightarrow Q$ 且未知量是一个闭 $1$-形式 $\mathsf{d}W:Q\rightarrow T^{*}Q$ 时，得到标准 HJE。函数 $W$ 称为哈密顿特征函数。回到推广版本，在 $\Pi$-HJE 的解中，所谓“各向同性完全解”起着核心作用。这是因为，若对给定哈密顿系统已知此类解，则该系统可积至求积。本文旨在证明，在温和条件下，在 $M$ 的几乎每一点附近均存在各向同性完全解。限制到标准情形，这给出了哈密顿特征函数“完全族”局部存在性的另一种证明。