完备流形上的拟线性椭圆型 Hamilton-Jacobi 方程

设 (M^n,g) 为一个 n 维完备、非紧且连通的黎曼流形，其 Ricci 张量为 Ricc_g，截面曲率为 Sec_g。假设 Ricc_g\geq (1-n)B^2，且要么 p>2 且当 dist^2(x,a)\to\infty 时 Sec_g(x)=o(dist^2(x,a))（其中 a\in M），要么 1<p<2 且 Sec_g(x)\leq 0。若 q>p-1> 0，则 (E) -\Gd_pu+\abs{\nabla u}^q=0 在 M 上的任何 C^1 解满足 \abs{\nabla u(x)}\leq c_{n,p,q}B^{\frac{1}{q+1-p}}，其中 c_{n,p,q}>0 为某常数。由此可得，存在 c_{n,p}>0，使得 M 上的任何正 p-调和函数 v 满足 v(a)e^{-c_{n,p}B\dist (x,a)}\leq v(x)\leq v(a)e^{c_{n,p}B\dist (x,a)}，对任意 (a,x)\in M\times M 成立。