拟线性对称系统的整体解

我们研究如下拟线性椭圆组，对所有 $i=1,\cdots,m$ \begin{equation*} -div(\Phi'(|\nabla u_i|^2) \nabla u_i) = H_i(u) \quad \text{in} \ \ \mathbb{R}^n \end{equation*} 其中 $u=(u_i)_{i=1}^m: \mathbb R^n\to \mathbb R^m$，非线性项 $H_i(u) \in C^1(\mathbb R^m)\to \mathbb R$ 为一般非线性项。若干著名算子如预设平均曲率、拉普拉斯算子和 $p$-拉普拉斯算子对适当的 $\Phi$ 均符合上述形式。我们建立如下形式的哈密顿恒等式，对所有 $x_n\in\mathbb R$ \begin{equation*} \int_{\mathbb R^{n-1}} \left(\sum_{i=1}^{m} \left[ \frac{1}{2} \Phi\left(|\nabla u_i|^2\right) - \Phi'\left(|\nabla u_i|^2\right) |\partial_{x_n} u_i|^2 \right] - \tilde H(u) \right) d x'\equiv C, \end{equation*} 其中 $x=(x',x_n)\in\mathbb R^{n}$，$\tilde H$ 是 $H=(H_i)_{i=1}^m$ 的原函数。这可视为 Caffarelli、Garofalo 和 Segala 在 \cite{cgs} 以及 Modica 在 \cite{m} 中提出的著名点态不等式的对应物。对于方程组情形，即当 $m\ge 2$ 时，我们证明只要 $$\alpha \ge \alpha^*:=\inf_{s>0}\left\{\frac{2 s \Phi'(s)}{\Phi(s)}\right\}$$ 函数 $I_\alpha(r):=\frac{1}{r^{n-\alpha}} \int_{B_r} \sum_{i=1}^{m} \Phi(|\nabla u_i|^2) - 2\tilde H(u)$ 关于 $r$ 单调不减。我们称之为弱单调性公式，因为当 $m=1$ 时 \cite{cgs} 已在 $\Phi$ 的一定条件下证明 $I_\alpha(r)$ 在 $\alpha\ge 1$ 时单调。我们证明了当方程组对称时，在二维和三维中对 $H$-单调和稳定解的 De Giorgi 型结果与 Liouville 定理。