黎曼流形上对称系统的稳定解

我们研究如下在无边界的完备、连通、光滑黎曼流形$\mathbb{M}$上的对称系统的稳定解，\begin{equation*} -\Delta_g u_i = H_i(u_1,\cdots,u_m) \ \ \text{on} \ \ \mathbb{M}, \end{equation*}其中$\Delta_g$表示 Laplace-Beltrami 算子，$u_i:\mathbb{M}\to \mathbb R$且$H_i\in C^1(\mathbb R^m)$，$1\le i\le m$。如果$H$所有分量的偏导矩阵，即$\mathbb H(u)=(\partial_j H_i(u))_{i,j=1}^m$，是对称的，则该系统称为对称的。我们利用 Bochner-Weitzenb\"{o}ck 公式证明了稳定解的稳定性不等式和 Poincar\'{e} 型不等式。进而，在流形和解的某些假设下，应用这些不等式建立了上述对称系统稳定解的 Liouville 定理和水平集的平坦性。