变号解对二阶临界椭圆方程的稳定性与不稳定结果

在维数 $n\ge3$ 的光滑闭黎曼流形 $\left(M,g\right)$ 上，我们考虑平稳薛定谔方程 $\Delta_gu+h_0u=\left|u\right|^{2^*-2}u$，其中 $\Delta_g:=-\text{div}_g\nabla$，$h_0\in C^1\left(M\right)$ 且 $2^* :=\frac{2n}{n-2}$。我们证明，在对势函数 $h_0$ 在 $C^1\left(M\right)$ 中作扰动之后，$H^1\left(M\right)$ 中有界的变号解集在 $C^2$ 拓扑中是预紧的。我们在如下假设下得到该结果： $\left(M,g\right)$ 局部共形平坦，$n\ge7$ 且对所有 $x\in M$ 有 $h_0\ne\frac{n-2}{4\left(n-1\right)}\text{Scal}_g$，其中 $\text{Scal}_g$ 为流形的数量曲率。随后我们在每个维数 $n\ge3$ 给出反例，表明这些假设的最优性。