三维聚焦三次薛定谔方程的一个临界中心稳定流形

考虑R^3中具有三次非线性的H^{1/2}临界薛定谔方程，i \partial_t \psi + \Delta \psi + |\psi|^2 \psi = 0。该方程允许一个八维周期解流形，称为孤立子e^{i(\Gamma + vx - t|v|^2 + \alpha^2 t)} \phi(x-2tv-D, \alpha)，其中\phi(x, \alpha)是半线性椭圆方程-\Delta \phi + \alpha^2\phi = \phi^3的一个正基态解。我们证明在孤立子流形的邻域内存在一个H^{1/2}实解析流形N，由薛定谔方程的渐近稳定解组成，这意味着它们是运动孤立子和色散项之和。此外，从N出发的解在所有正时间以及某些有限负时间内保持在N上，并且N可被识别为该方程的中心稳定流形。证明基于由Soffer和Weinstein引入并由Schlag推广到L^2超临界情形的调制方法。新颖之处包括不同的线性化以及针对线性薛定谔方程的新的Strichartz型估计。主要结果依赖于一个关于不存在嵌入特征值的谱假设。我们还为时变和时不变线性薛定谔方程的解建立了几个新的估计，这些估计在比先前已知更精确或更一般的条件下成立。其中几个估计基于一种在函数空间背景下使用Wiener定理的新方法。