$\mathbb{R}^3$ 中薛定谔方程的一个临界中心稳定流形

考虑 $\mathbb{R}^3$ 中的聚焦三次半线性薛定谔方程 $i \partial_t \psi + \Delta \psi + | \psi |^2 \psi = 0$。它允许一个八维的特殊解流形，称为基态孤子。我们在孤子流形邻域内展示了一个余维一的临界实解析渐近稳定解流形 $N$。然后我们证明 $N$ 在 Bates-Jones 动力系统意义下是中心稳定的，并且是全局时间不变的。$N$ 中的解是渐近稳定的，并分离成两个在极限中解耦的渐近自由部分——一个孤子和辐射。反之，在一般设定下，任何始终靠近孤子流形的解都在 $N$ 中。证明使用了调制方法。新的元素包括一个不同的线性化以及时变线性化方程的一个端点 Strichartz 估计。证明还利用了线性化哈密顿量没有非零实特征值或共振的事实。这一点最近在本文处理的 $\mathbb{R}^3$ 中聚焦三次 NLS 的情形下，由 Marzuola-Simpson 和 Costin-Huang-Schlag 的工作所确立。