具有Hardy势的临界方程变号解

我们考虑如下在光滑有界区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ ($N\geq 3$, $0 \in \Omega$) 上涉及 Hardy-Schr\"odinger 算子的扰动临界 Dirichlet 问题： $$\left\{ \begin{array}{ll}-\Delta u-\gamma \frac{u}{|x|^2}-\epsilon u=|u|^{\frac{4}{N-2}}u &\hbox{in }\Omega u=0 & \hbox{on }\partial \Omega, \end{array}\right.$$ 其中 $\epsilon>0$ 很小且 $\gamma< {(N-2)^2\over4}$。令 $\gamma_j= \frac{(N-2)^2}{4}\left(1-\frac{j(N-2+j)}{N-1}\right)\in(-\infty,0]$ ($j \in \mathbb{N}$)，我们证明若 $\gamma\leq \frac{(N-2)^2}{4}-1$ 且对任意 $j$ 有 $\gamma \neq \gamma_j$，则对小的 $\epsilon$，上述方程有一个正的——非变分的——解，该解在原点处发展出一个气泡。此外，若 $\gamma<\frac{(N-2)^2}{4}-4$，则对任意整数 $k \geq 2$，当 $\epsilon$ 足够小时，方程有一个变号解，该解在原点处发展为交替符号的 $k$ 个气泡的叠加。上述结果在径向情形下是最优的，其中 $\gamma\neq \gamma_j$ 的条件是不必要的。事实上，已知若 $\gamma > \frac{(N-2)^2}{4}-1$ 且 $\Omega$ 为球 $B$，则对小的 $\epsilon>0$ 不存在径向正解。我们在此通过证明若 $\gamma\geq \frac{(N-2)^2}{4}-4$，则对上述小的 $\epsilon>0$ 问题不存在径向变号解，从而补全了图像。这些结果恢复并改进了非奇异情形(即 $\gamma=0$)下的已知结论。