临界非线性热方程的改变符号爆裂解

设 $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中的光滑有界区域，并将具有 Dirichlet 边界条件的 $\Omega$ 上 Green 函数的正则部分记为 $H(x,y)$。假设 $q \in \Omega$ 且 $n\geq 5$。我们证明存在整数 $k_0$，使得对任意整数 $k\geq k_0$，存在初始数据 $u_0$ 以及光滑参数函数 $\xi(t)\to q$、$0<\mu(t)\to 0$（当 $t\to +\infty$ 时），使得临界非线性热方程 \begin{equation*} \begin{cases} u_t = \Delta u + |u|^{\frac{4}{n-2}}u\text{ in }\Omega\times (0, \infty),\\ u = 0\text{ on }\partial \Omega\times (0, \infty),\\ u(\cdot, 0) = u_0 \text{ in }\Omega, \end{cases} \end{equation*} 的解 $u_q$ 具有形式 \begin{equation*} u_q(x, t) \approx \mu(t)^{-\frac{n-2}{2}}\left(Q_k\left(\frac{x-\xi(t)}{\mu(t)}\right) - H(x, q)\right), \end{equation*} 其中剖面 $Q_k$ 是 Yamabe 方程 \begin{equation*} \Delta Q + |Q|^{\frac{4}{n-2}}Q = 0\text{ in }\mathbb{R}^n, \end{equation*} 的非径向改变符号解，该解构造于 \cite{delpinomussofrankpistoiajde2011}。在维数 5 和 6 时，我们还证明了 $u_q(x, t)$ 的稳定性。