自相似解的扰动

我们考虑非线性热方程 $u_t = \Delta u + |u|^\alpha u$，其中 $\alpha >0$，方程定义在 ${\mathbb R}^N$（$N\ge 1$）上，或定义在有 Dirichlet 边界条件的有界区域上。我们证明在 Sobolev 次临界情形 $(N-2) \alpha <4$ 下，对任意 $\mu \in {\mathbb R}$，若初值 $u_0$ 在某个 $x_0\in \Omega$ 的邻域内满足 $u_0 (x) = \mu |x-x_0|^{-\frac {2} {\alpha }}$，且在该邻域外有界，则存在无穷多个满足初值条件 $u(0)= u_0$ 的热方程解。证明采用不动点论证，在 ${\mathbb R}^N$ 上构造具有初值 $\mu |x-x_0|^{-\frac {2} {\alpha }}$ 的自相似解的扰动。此外，若对某个 $\mu _0( N, \alpha )\ge 0$ 有 $\mu \ge \mu _0$ 且 $u_0 I\ge 0$，则不存在满足初值条件 $u(0)= u_0$ 的非负局部解，但存在无穷多个变号解。